Bài toán 1 — Tổng của n/πⁿ

Tính tổng một chuỗi vô hạn bằng cách nhóm các số hạng và sử dụng công thức cấp số nhân.

Tính tổng

Xét tổng hữu hạn:

A_n = \frac{1}{\pi} + \frac{2}{\pi^2} + \frac{3}{\pi^3} + \cdots + \frac{n}{\pi^n}.

Ta muốn tìm giá trị của chuỗi:

A = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{\pi^n}.

Nhóm các số hạng

Mỗi số hạng $k/\pi^k$ có thể viết thành tổng của $k$ số hạng bằng $1/\pi^k$ . Vì vậy:

\begin{aligned} A_n &= \left(\frac{1}{\pi}+\frac{1}{\pi^2}+\cdots+\frac{1}{\pi^n}\right) \\ &\quad+\left(\frac{1}{\pi^2}+\cdots+\frac{1}{\pi^n}\right) \\ &\quad+\left(\frac{1}{\pi^3}+\cdots+\frac{1}{\pi^n}\right) +\cdots+\frac{1}{\pi^n}. \end{aligned}

Đặt:

S_m=\frac{1}{\pi}+\frac{1}{\pi^2}+\cdots+\frac{1}{\pi^m}.

Mỗi nhóm ở trên bằng $S_n$ trừ đi một tổng đầu. Do đó:

A_n=nS_n-\left(S_1+S_2+\cdots+S_{n-1}\right).

Theo công thức tổng cấp số nhân:

S_m=\frac{\frac{1}{\pi}\left(1-\frac{1}{\pi^m}\right)}{1-\frac{1}{\pi}}.

Để các phép biến đổi gọn hơn, đặt $r=1/\pi$ . Khi ấy:

\begin{aligned} A_n &=n\frac{r(1-r^n)}{1-r} -\frac{r}{1-r}\sum_{m=1}^{n-1}(1-r^m) \\ &=\frac{r}{1-r}\left[n(1-r^n)-(n-1)+\sum_{m=1}^{n-1}r^m\right] \\ &=\frac{r}{1-r}\left[1-nr^n+\frac{r(1-r^{n-1})}{1-r}\right] \\ &=\frac{r-(n+1)r^{n+1}+nr^{n+2}}{(1-r)^2}. \end{aligned}

Thay $r=1/\pi$ , ta được công thức cho tổng hữu hạn:

\boxed{ A_n=\frac{\pi^{n+1}-(n+1)\pi+n}{\pi^n(\pi-1)^2} }.

Lấy giới hạn

Chia cả tử và mẫu cho $\pi^n$ :

A_n=\frac{\pi-\frac{n+1}{\pi^{n-1}}+\frac{n}{\pi^n}}{(\pi-1)^2}.

Vì $\pi>1$ , các số hạng $n/\pi^n$ và $(n+1)/\pi^{n-1}$ đều tiến về $0$ khi $n\to\infty$ . Suy ra:

\begin{aligned} A &=\lim_{n\to\infty}A_n \\ &=\frac{\pi}{(\pi-1)^2} \\ &=\frac{\pi}{(1-\pi)^2} \\ &\approx 0.68497723153. \end{aligned}

Ghi chú: công thức tổng cấp số nhân

Ta có các hằng đẳng thức:

\begin{aligned} a^2-b^2&=(a-b)(a+b), \\ a^3-b^3&=(a-b)(a^2+ab+b^2), \\ a^4-b^4&=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3). \end{aligned}

Tổng quát:

a^n-b^n=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}\right).

Đặt $a=1$ và $b=q$ , với $q\ne1$ :

1+q+q^2+\cdots+q^{n-1}=\frac{1-q^n}{1-q}.

Vậy tổng $n$ số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q\ne1$ là:

\begin{aligned} S_n&=u_1+u_1q+u_1q^2+\cdots+u_1q^{n-1} \\ &=u_1\frac{1-q^n}{1-q}. \end{aligned}

Bài viết gốc: Ká, tháng 4 năm 2022. Bản web giữ cách nhóm tổng của bản gốc, rút gọn phần biến đổi và sửa các lỗi ký hiệu trong công thức tổng hữu hạn.